Question

12．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的邊長分別為a，b，c，且滿足c（acosB-$\frac{1}{2}$b）=a²-b²．
（Ⅰ）求角A；
（2）求sinB+sinC的最大值．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理化簡已知可得a²=c²+b²-bc，根據(jù)余弦定理可求cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，結(jié)合范圍A∈（0，π），即可解得A的值．
（2）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得sinB+sinC=$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$），結(jié)合范圍B∈（0，$\frac{2π}{3}$），可求B+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可解得sinB+sinC的最大值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵c（acosB-$\frac{1}{2}$b）=a²-b²．
∴由余弦定理可得：a²+c²-b²-bc=2a²-2b²．可得：a²=c²+b²-bc，
∴cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$…6分
（2）sinB+sinC=sinB+sin（A+B）=sinB+sinAcosB+cosAsinB
=$\frac{3}{2}$sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB=$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$），
∵B∈（0，$\frac{2π}{3}$），
∴B+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），sin（B+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1]，
∴sinB+sinC的最大值為$\sqrt{3}$．…12分

點(diǎn)評 本題主要考查了余弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，考查了計算能力，屬于中檔題．