Question

7．已知函數(shù)f（x）=xlnx-$\frac{1}{2}a{x^2}$（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）對于區(qū)間（1，2）內(nèi)的任意兩個不相等的實(shí)數(shù)x₁，x₂，不等式$\frac{{f（{x_1}+1）-f（{x_2}+1）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＞1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)S_n=$\frac{ln2}{2^3}+\frac{ln3}{3^3}+\frac{ln4}{4^3}+…+\frac{lnn}{n^3}$，試比較S_n與$\frac{1}{e}$的大�。�（其中n＞1，n∈N^*，e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)．）

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出當(dāng)a=0時(shí)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，即可得到最小值；
（Ⅱ）不妨設(shè)1＜x₁＜x₂＜2，依條件得：f（x₁+1）-f（x₂+1）＜x₁-x₂即：f（x₁+1）-（x₁+1）＜f（x₂+1）-（x₂+1）恒成立設(shè)h（x）=f（x）-x，求得h（x）在（2，3）內(nèi)的單調(diào)性，再由參數(shù)分離，通過導(dǎo)數(shù)求得最小值，即可得到所求范圍；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得$\frac{lnx}{x}≤\frac{1}{e}$，且x＞0．即有$\frac{lnx}{x^3}≤\frac{1}{e}•\frac{1}{x^2}$，令x=n，運(yùn)用放縮法和裂項(xiàng)求和方法，即可得證．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=xlnx（x＞0），
令f′（x）=1+lnx＞0得得$x＞\frac{1}{e}$，
∴f（x）在$（{0，\frac{1}{e}}）上$上遞減，在$（{\frac{1}{e}，+∞}）$上遞增．
即有${f_{min}}（x）=f（{\frac{1}{e}}）=-\frac{1}{e}$；
（Ⅱ）不妨設(shè)1＜x₁＜x₂＜2，依條件得：f（x₁+1）-f（x₂+1）＜x₁-x₂
即：f（x₁+1）-（x₁+1）＜f（x₂+1）-（x₂+1）恒成立
設(shè)h（x）=f（x）-x，上式恒成立，只須此函數(shù)在（2，3）上單調(diào)遞增，
得$h（x）=xlnx-\frac{1}{2}a{x^2}-x$
∴h′（x）=lnx+1-ax-1=lnx-ax≥0，
即$a≤\frac{lnx}{x}$恒成立，
令$g（x）=\frac{lnx}{x}$得$g'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}$，由g′（x）=0得x=e，
當(dāng)x∈（2，e）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在（2，e）上單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（e，3）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）在（e，3）上單調(diào)遞減，
∴x∈（2，3）時(shí)，$g（x）≤g（e）=\frac{lne}{e}=\frac{1}{e}$，
又∵$g（2）=\frac{ln2}{2}=ln\root{6}{8}＜ln\root{6}{9}=\frac{ln3}{3}$
∴$g（x）＞g（2）=\frac{ln2}{2}$∴$a≤\frac{ln2}{2}$，
經(jīng)檢驗(yàn)：當(dāng)$a=\frac{ln2}{2}$時(shí)也符合題意，
綜上得a≤$\frac{ln2}{2}$；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得$\frac{lnx}{x}≤\frac{1}{e}$，且x＞0．∴$\frac{lnx}{x^3}≤\frac{1}{e}•\frac{1}{x^2}$，
∴$\frac{ln2}{2^3}+\frac{ln3}{3^3}+\frac{ln4}{4^3}+…+\frac{lnn}{n^3}≤\frac{1}{e}（{\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+…+\frac{1}{n^2}}）$
又$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+…+\frac{1}{n^2}＜\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{{（{n-1}）•n}}$，
∵$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{{（{n-1}）•n}}=（{1-\frac{1}{2}}）+（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}）+（{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}}）+…+（{\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}}）$=$1-\frac{1}{n}＜1$，
∴$\frac{ln2}{2^3}+\frac{ln3}{3^3}+\frac{ln4}{4^3}+…+\frac{lnn}{n^3}＜\frac{1}{e}$，
∴${S_n}＜\frac{1}{e}$．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，同時(shí)考查不等式恒成立問題和數(shù)列求和的方法，運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)和不等式的方法解決問題是解題的關(guān)鍵．