Question

8．已知函數(shù)f（x）=x²-（$\frac{a+1}{a}$）x+1，a＞0
（1）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，解不等式f（x）≤0；
（2）比較a與$\frac{1}{a}$的大��；
（3）解關(guān)于x的不等式f（x）≤0．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，不等式即 x²-3x+1≤0，由此求得x的范圍，可得不等式f（x）≤0的解集．
（2）由于a＞0，分0＜a＜1、a＞1、a=1三種情況，分別比較a與$\frac{1}{a}$的大�。�
（3）關(guān)于x的不等式f（x）≤0，即 （x-a）（x-$\frac{1}{a}$）≤0，分類討論，求得它的解集．

解答 解：（1）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，不等式f（x）≤0，即 x²-3x+1≤0，求得$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$≤x≤$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，即不等式f（x）≤0的解集為{x|$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$≤x≤$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$}．
（2）由于a＞0，故當(dāng)0＜a＜1時(shí)，a＜$\frac{1}{a}$；當(dāng)a＞1時(shí)，a＞$\frac{1}{a}$；當(dāng)a=1時(shí)，a=$\frac{1}{a}$．
（3）關(guān)于x的不等式f（x）≤0，即 （x-a）（x-$\frac{1}{a}$）≤0，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，a＜$\frac{1}{a}$，不等式的解集為{x|a＜x＜$\frac{1}{a}$}；
當(dāng)a＞1時(shí)，a＞$\frac{1}{a}$，不等式的解集為{x|a＞x＞$\frac{1}{a}$}；
當(dāng)a=1時(shí)，a=$\frac{1}{a}$，不等式的解集為{x|x=1}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一元二次不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．