Question

如圖1-1-6，某隧道設計為雙向四車道，車道總寬22米，要求通行車輛限高4.5米，隧道全長2.5千米，隧道的拱線近似地看成半個橢圓形狀.

圖1-1-6

（1）若最大拱高h為6米，則隧道設計的拱寬l是多少？

（2）若最大拱高h不小于6米，則應如何設計拱高h和拱寬l，才能使半個橢圓形隧道的土方工程量最小？（半個橢圓的面積公式為S=lh，柱體體積為底面積乘以高.本題結果精確到0.1米）

Answer 1

思路分析：當最大拱高h為定值時,隧道設計的拱寬l即為2a；當最大拱高h為變量時,可根據(jù)均值定理,得到橢圓面積為最小.

解：（1）如圖建立坐標系,則點P(11,4.5),橢圓方程為=1.

將b=h=6與點P坐標代入橢圓方程,得a=,l=2a=≈33.3.故隧道的拱寬約為33.3米.

（2）由橢圓方程=1,得=1.

因為≥,

即ab≥99,且l=2a,h=b,

所以S=lh=.

當S取最小值時,有=,得a=,b=.

此時l=2a=222≈31.1,h=b≈6.4.

故當拱高約為6.4米,拱寬約為31.1米時,土方工程量最小.