Question

已知點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(0，－1)，(0，1)，直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積為．

(1)求點(diǎn)M軌跡C的方程；

(2)若過點(diǎn)D(2，0)的直線l與(1)中的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)E、F(E在D、F之間)，試求△ODE與△ODF面積之比的取值范圍(O為坐標(biāo)原點(diǎn))．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為， 　　∵，∴．……………………2分 　　整理，得()，這就是動點(diǎn)M的軌跡方程．……4分 　　(2)方法1：如圖，由題意知直線的斜率存在， 　　設(shè)的方程為()　…… ①…………………5分 　　將①代入， 　　得，………………6分 　　由，解得．……………………………7分 　　設(shè)，，則……②……8分 　　令，則，即，即，且……………………9分 　　由②得， 　　即 　　．…………………………………11分 　　且且． 　　解得且…………………………………13分 　　，且． 　　∴△OBE與△OBF面積之比的取值范圍是．……14分 　　方法2：如圖，由題意知直線的斜率存在， 　　設(shè)的方程為……①…………5分 　　將①代入， 　　整理，得，…………6分 　　由，解得．………………………………………7分 　　設(shè)，，則……②…………8分 　　令，且．……………………9分 　　將代入②，得 　　∴．即．…………………………11分 　　∵且，∴且． 　　即且． 　　解得且．……………………………13分 　　，且． 　　故△OBE與△OBF面積之比的取值范圍是．……14分