Question

19.如圖,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=，AF=1,M是線段EF的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：AM⊥平面BDF;

（Ⅱ）求二面角A－DF－B的大小;

Answer 1

19.本題主要考查空間線面關(guān)系及空間向量概念與運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力.

解：方法一：

（Ⅰ）記AC∩BD=O,連結(jié)OE,

∵O、M分別是AC、EF的中點(diǎn),ACEF是矩形,

∴四邊形AOEM是平行四邊形.

∴AM∥OE.

∵OE平面BDE,AM平面BDE,

∴AM∥平面BDE.

（Ⅱ）∵BD⊥AC,BD⊥AF,且AC交AF于A,

∴BD⊥平面AE,又因?yàn)?I>AM平面AE,

∴BD⊥AM.

∵AD=,AF=1,OA=1,

∴AOMF是正方形,

∴AM⊥OF,又AM⊥BD,且OF∩BD=O.

∴AM⊥平面BDF.

（Ⅲ）設(shè)AM∩OF=H,過H作HG⊥DF于G,連結(jié)AG,

由三垂線定理得AG⊥DF,

∴∠AGH是二面角A－DF－B的平面角.

∵AH=,AG=,

∴sinAGH=,∠AGH=60°，

∴二面角A－DF－B的大小為60°.

方法二：

（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)AC∩BD=N,連結(jié)NE,

則點(diǎn)N、E的坐標(biāo)分別是（,,0）、（0,0,1）,

∴=（－,－,1）.

又點(diǎn)A、M的坐標(biāo)分別是

（,,0）、（,,1）,

∴=（－,－,1）.

∴=且NE與AM不共線，

∴NE∥AM.

又∵NE平面BDE,AM平面BDE,

∴AM∥平面BDE.

（Ⅱ）=（－,－,1）,

∵D（,0,0）,F（,,1）,

∴=（0,,1），

∴·=0，所以⊥.

同理⊥，又DF∩BF=F,

∴AM⊥平面BDF.

（Ⅲ）∵AF⊥AB,AB⊥AD,AF∩AD=A,

∴AB⊥平面ADF.

∴=（－,0,0）為平面DAF的法向量.

∵·=（－,－,1）·（－,,0）=0,

·=（－,－,1）·（,,1）=0得

⊥,⊥,

∴為平面BDF的法向量.

∴cos〈,〉=.

∴與的夾角是60°.

即所求二面角A－DF－B的大小是60°.