Question

已知函數(shù)f（x）=x²-x，g（x）=lnx．
（1）求函數(shù)G（x）=f（x）-g（x）的極值．
（2）若f（x）≥ag（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的值；
（3）設(shè)F（x）=f（x）+mg（x）（m∈R）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁、x₂（x₁＜x₂），求實(shí)數(shù)m的取值范圍，并證明F（x₂）＞-

3+4ln2

16

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）G（x）f（x）-g（x）=x²-x-lnx（x＞0）．利用導(dǎo)數(shù)的屬于法則可得G′（x）=2x-1-

1

x

=

(2x+1)(x-1)

x

，研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出極值；
（2）令h（x）=f（x）-ag（x），則h（1）=0．h（x）≥0即h（x）≥h（1）恒成立的必要條件是
h′（1）=0，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值即可．
（3）F（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁、x₂等價(jià)于方程2x²-x+m=0在（0，+∞）上有兩個(gè)不等的正根，即：

△=1-8m＞0 x1+x2= 1 2 ＞0 x1x2= m 2 ＞0

，即可解得m的取值范圍．由F′（x₂）=0，得m=-2

x

2 2

+x2，其中0＜x1＜

1

4

＜x2＜

1

2

．
可得F（x₂）=

x

2 2

-x2+(x2-2

x

2 2

)lnx2．設(shè)φ（x）=x²-x+（x-2x²）lnx（

1

4

＜x＜

1

2

）．利用導(dǎo)數(shù)求其最小值即可．

解答： 解：（1）G（x）f（x）-g（x）=x²-x-lnx（x＞0）．
G′（x）=2x-1-

1

x

=

(2x+1)(x-1)

x

，
令G′（x）＞0，解得x＞1，此時(shí)函數(shù)G（x）單調(diào)遞增；令G′（x）＜0，解得0＜x＜1，此時(shí)函數(shù)G（x）單調(diào)遞減．
又G′（1）=0，∴x=1是函數(shù)G（x）的極小值點(diǎn)，且G（1）=0．
（2）令h（x）=f（x）-ag（x），則h（1）=0．
∴h（x）≥0即h（x）≥h（1）恒成立的必要條件是h′（1）=0，
又h′(x)=2x-1-

a

x

，由h′（1）=2-1-a=0，解得：a=1．
當(dāng)a=1時(shí)，h′（x）=

2x2-x-1

x

，知h（x）_min=h（1）=0，
故h（x）≥0（x＞0），即f（x）≥ag（x）恒成立．                
（3）由F（x）=f（x）+mg（x）=x²-x+mlnx，得F′（x）=

2x2-x+m

x

（x＞0）．
F（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁、x₂等價(jià)于方程2x²-x+m=0在（0，+∞）上有兩個(gè)不等的正根，即：

△=1-8m＞0 x1+x2= 1 2 ＞0 x1x2= m 2 ＞0

，解得0＜m＜

1

8

．
由F′（x₂）=0，得m=-2

x

2 2

+x2，其中0＜x1＜

1

4

＜x2＜

1

2

．
∴F（x₂）=

x

2 2

-x2+(x2-2

x

2 2

)lnx2．
設(shè)φ（x）=x²-x+（x-2x²）lnx（

1

4

＜x＜

1

2

）．
φ′（x）=（1-4x）lnx＞0，
∴φ（x）＞φ(

1

4

)=-

3+4ln2

16

，即F(x2)＞-

3+4ln2

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查了恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．