Question

12．設(shè)m＞0，點A（4，m）為拋物線y²=2px（p＞0）上一點，F(xiàn)為焦點，以A為圓心|AF|為半徑的圓C被y軸截得的弦長為6，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-4）²+（y-4）²=25．

Answer 1

分析 由題意可得點A（4，m）到y(tǒng)軸的距離為4，又已知圓C被y軸截得的弦長為6，可求出|AF|的值，進一步得到p的值，把點A（4，m）代入拋物線的方程，求得m的值，可得圓心和半徑，從而得到所求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：由題意可得點A（4，m）到y(tǒng)軸的距離為4，又已知圓C被y軸截得的弦長為6，
得|AF|=$\sqrt{{4}^{2}+（\frac{6}{2}）^{2}}=5$，則$4+\frac{p}{2}=5$，∴p=2．
∵點A（4，m）為拋物線y²=2px（p＞0）上一點，∴$m=\sqrt{2×2×4}=4$．
∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-4）²+（y-4）²=25．
故答案為：（x-4）²+（y-4）²=25．

點評 本題主要考查拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，求出m的值，是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．