Question

（2013•棗莊一模）如圖所示的幾何體中，ABCD是等腰梯形，AB∥CD，ACFE是矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，AD=DC=CB=CF=a，∠ACB=

π

2

．
（1）若M∈EF，AM∥平面BDF，求EM的長度；
（2）求二面角B-EF-C的平面角θ的大小．

Answer 1

分析：（1）設(shè)AC∩BD=0，連結(jié)OF，利用平行線的性質(zhì)結(jié)合等腰梯形的性質(zhì)，證出∠CB0=∠DAC=

1

2

∠CBA，結(jié)合∠ACB=90°利用三角形內(nèi)角和定理，算出∠CB0=30°，從而Rt△OCB中算出OC=BCtan30°=

3

3

a．由線面平行的性質(zhì)定理證出AM∥OF，結(jié)合矩形ACFE中AC=EF，可得EM=OC=

3

3

a；
（2）以C為原點(diǎn)，CA、CB、CF所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．得到B、C、E、F各點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到向量

BF

、

BE

的坐標(biāo)，利用垂直向量數(shù)量積為0的方法建立方程組，解出

m

=（0，1，1）為平面BEF的一個法向量，結(jié)合平面EFC的一個法向量為

n

=（0，1，0），利用空間向量的夾角公式即可算出二面角B-EF-C的平面角θ的大�。�

解答：解：（1）設(shè)AC∩BD=0，連結(jié)OF
∵等腰梯形ABCD中，DA=DC，∴∠DAC=∠DCA
∵AB∥CD，∴∠CAB=∠DCA，可得∠DAC=∠CAB．同理可證∠CB0=∠AB0
∵等腰梯形ABCD中，∠DAB=∠CBA，∴∠CB0=∠DAC=

1

2

∠CBA
又∵∠DCA+∠ACB+∠CBA=180°，∠ACB=90°
∴3∠CB0=90°，得∠CB0=30°
Rt△OCB中，BC=a，可得OC=BCtan30°=

3

3

a
∵AM∥平面BDF，AM?平面ACEF，平面BDF∩平面ACEF=OF，∴AM∥OF
∵四邊形ACFE是矩形，可得AC=EF，∴EM=OC=

3

3

a；
（2）以C為原點(diǎn)，CA、CB、CF所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．
可得C（0，0，0），B（0，a，0），F(xiàn)（0，0，a），E（

3

a，0，a），
設(shè)平面BEF的一個法向量為

m

=（x，y，z），可得

m • BF =-ay+az=0 m • BE = 3 ax-ay+az=0

，
取y=1，得x=0，z=1，可得

m

=（0，1，1）為平面BEF的一個法向量．
∵平面EFC的一個法向量為

n

=（0，1，0），且cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

2

2

∴二面角B-EF-C的平面角θ滿足|cosθ|=

2

2

，
結(jié)合二面角B-EF-C是一個銳二面角，可得θ=45°．

點(diǎn)評：本題給出底面為等腰梯形且一個側(cè)面與底面垂直的多面體，求二面角的大�。�著重考查了線面平行的性質(zhì)定理、等腰梯形的性質(zhì)和利用空間向量求二面角的大小等知識，屬于中檔題．