Question

5．已知函數(shù)f（x）=|x-3|
（Ⅰ）若不等式f（x-1）+f（x）＜a的解集為空集，求a的范圍；
（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜3，且a≠0，求證：f（ab）＞|a|f（$\frac{a}$）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得|x-4|+|x-3|＜a的解集為空集，而|x-4|+|x-3|≥1，由此可得a的范圍．
（Ⅱ）要證的不等式等價于 （ab-3）²＞（b-3a）²，再根據(jù)（ab-3）²-（b-3a）²=（a²-1）（b²-9）＞0，從而證得f（ab）＞|a|f（$\frac{a}$）成立．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=|x-3|，不等式f（x-1）+f（x）＜a，即|x-4|+|x-3|＜a．
再根據(jù)f（x-1）+f（x）＜a的解集為空集，可得|x-4|+|x-3|＜a的解集為空集．
而|x-4|+|x-3|≥|（x-4）-（x-3）|=1，∴a≤1．
（Ⅱ）∵|a|＜1，|b|＜3，且a≠0，
∴f（ab）＞|a|f（$\frac{a}$），等價于|ab-3|＞|a|•|$\frac{a}$-3|，等價于|ab-3|-|b-3a|，
等價于（ab-3）²＞（b-3a）²．
再根據(jù)（ab-3）²-（b-3a）²=a²b²-9a²-b²+9=（a²-1）（b²-9）＞0，
可得f（ab）＞|a|f（$\frac{a}$）成立．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．