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精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學(xué) > 題目詳情

已知P是△ABC所在平面外一點，PA⊥PC，PB⊥PC，PA⊥PB．求證：P在面ABC上的射影H是△ABC的垂心．

考點：直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：利用向量的數(shù)量積公式，證明

•

=0，

•

=0，

•

=0，即可得到結(jié)論．

解答：

證明：如圖所示，連結(jié)AH、BH、CH，
∵PA⊥PC，PB⊥PC，PA⊥PB
∴

•

=0，

•

=0，

•

=0，
又∵PH⊥面ABC，
∴

•

=0，

•

=0，

•

=0，
∴

•

=（

）•

•

=0-

（

）=0-

•

=0．
同理可證：

•

=0，

•

=0．
∴H是△ABC的垂心．

點評：本題考查線面垂直、線線垂直，考查向量知識的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

平面上的兩個向量

，

滿足

|OA|

=a，

|OB|

=b，且

⊥

，a²+b²=4．向量：

（x，y∈R），且a2(x-

)2+b2(y-

)2=1．
（1）如果點M為線段AB的中點，求證：

=(x-

)

+(y-

)

；
（2）求丨

丨的最大值，并求此時四邊形OAPB面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某次市教學(xué)質(zhì)量檢測，甲、乙、丙三科考試成績的直方圖如圖所示（由于人數(shù)眾多，成績分布的直方圖可視為正態(tài)分布），則由圖中曲線可得下列說法中正確的一個是（　　）

A、甲科總體的標準差最小

B、乙科總體的標準差及平均數(shù)都居中

C、丙科總體的平均數(shù)最小

D、甲、乙、丙的總體的平均數(shù)不相同

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義域為R的二次函數(shù)f（x）的最小值為0，且有f（1+x）=f（1-x），直線g（x）=4（x-1）的圖象被f（x）的圖象截得的弦長為4

，數(shù)列{a_n}滿足a=2，（a_n+1-a_n）•g（a_n）+f（a_n）=0（n∈N^*）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）設(shè)b_n=3f（a_n）-g（a_n），求數(shù)列的{b_n}的最值及相應(yīng)的n．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=

(

)x+

，x≥2

log2x，0＜x＜2

，若函數(shù)g（x）=f（x）-k有兩個不同的零點，則實數(shù)k的取值范圍是（　�。�

A、（

，1）

B、（0，

）