Question

若函數(shù)f（x）=lnx-ax²+（a-2）x在x=1處取得極值．
（1）求a的值，并寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若g（x）=x²-2x-1，證明當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜g（x）．

Answer 1

分析：（1）求出函數(shù)f（x）的定義域，求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)題意可知x=1是f′（x）=0的根，從而求出a的值，進(jìn)而求得f（x）的解析式，令f′（x）＞0和f′（x）＜0，分別求解，即可得到函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）令F（x）=f（x）-g（x），求出F′（x），利用導(dǎo)數(shù)判斷F（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性，從而確定出F（x）＜F（1）=0，即可證得結(jié)論．

解答：解：（1）∵f（x）=lnx-ax²+（a-2）x，
∴f（x）的定義域?yàn)閧x|x＞0}，
∴f′(x)=

1

x

-2ax+a-2，
又∵f（x）在x=1處取得極值，
∴f'（1）=1-2a+a-2=0，
∴a=-1，
∴f（x）=lnx+x²-3x，
∴f′(x)=

1

x

+2x-3，
令f′（x）＞0，即2x²-3x+1＞0，解得0＜x＜

1

2

或x＞1，
令令f′（x）＜0，即2x²-3x+1＜0，解得

1

2

＜x＜1，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，

1

2

)和（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為(

1

2

，1)；
（2）∵f（x）=lnx+x²-3x，g（x）=x²-2x-1，
令F（x）=f（x）-g（x）=（lnx+x²-3x）-（x²-2x-1）=lnx-x+1，
∴F′(x)=

1

x

-1，
∵當(dāng)x＞1時(shí)，F(xiàn)'（x）＜0，
∴函數(shù)F（x）=lnx-x+1在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
又∵F（1）=ln1-1+1=0，
∴當(dāng)x＞1時(shí)，F(xiàn)（x）=lnx-x+1＜F（1），即F（x）＜0，
∴f（x）-g（x）＜0，
∴f（x）＜g（x），
∴當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜g（x）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．對于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，注意導(dǎo)數(shù)的正負(fù)對應(yīng)著函數(shù)的單調(diào)性．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問題時(shí)，經(jīng)常會(huì)運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想方法．求函數(shù)極值的步驟是：先求導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)等于0，求出方程的根，確定函數(shù)在方程的根左右的單調(diào)性，根據(jù)極值的定義，確定極值點(diǎn)和極值．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，一般是求出導(dǎo)函數(shù)對應(yīng)方程的根，然后求出跟對應(yīng)的函數(shù)值，區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，然后比較大小即可得到函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．屬于中檔題．