Question

17．求證：
（1）函數(shù)f（x）=-2x²+3在區(qū)間（-∞，0]上是單調(diào)增函數(shù)；
（2）函數(shù)f（x）=-x³+1在區(qū)間（-∞，0]上是單調(diào)減函數(shù)；
（3）函數(shù)f（x）=2-$\frac{3}{x}$在區(qū)間（-∞，0）和（0，+∞）上都是單調(diào)增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）在要求證的區(qū)間內(nèi)任取兩個自變量x₁，x₂，規(guī)定大小后把對應(yīng)的函數(shù)值作差，因式分解后判斷差式的符號，從而得到對應(yīng)函數(shù)值的大小，然后利用增函數(shù)的概念得到證明；
（2）（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義證明即可．

解答 證明：（1）設(shè)x₁，x₂∈（-∞，0]，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=-2${{x}_{1}}^{2}$+2${{x}_{2}}^{2}$=2（x₂+x₁）（x₂-x₁）．
∵x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁＜x₂，
∴x₁+x₂＜0，x₂-x₁＞0．
∴2（x₂+x₁）（x₂-x₁）＜0．
即f（x₁）-f（x₂）＜0．
f（x₁）＜f（x₂）．
所以f（x）在區(qū)間（-∞，0]）上是增函數(shù)．
（2））設(shè)x₁，x₂∈（-∞，0]，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=-${{x}_{1}}^{3}$+${{x}_{2}}^{3}$=（x₂-x₁）（${{x}_{2}}^{2}$+x₁x₂+${{x}_{1}}^{2}$），
∵x₁＜x₂≤0，∴x₂-x₁＞0，${{x}_{2}}^{2}$+x₁x₂+${{x}_{1}}^{2}$＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴函數(shù)f（x）=-x³+1在區(qū)間（-∞，0]上是單調(diào)減函數(shù)；
（3）設(shè)x₁＜x₂＜0，則：
f（x₁）-f（x₂）=-$\frac{3}{{x}_{1}}$+$\frac{3}{{x}_{2}}$=$\frac{3{（x}_{1}{-x}_{2}）}{{{x}_{1}x}_{2}}$；
∵x₁＜x₂＜0；
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在區(qū)間（-∞，0）上是單調(diào)增函數(shù)，
同理可證函數(shù)f（x）=2-$\frac{3}{x}$在區(qū)間（0，+∞）上都是單調(diào)增函數(shù)．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，訓(xùn)練了因式分解法，解答此題的關(guān)鍵是因式分解要徹底，避免出現(xiàn)證題用題的現(xiàn)象的發(fā)生．是基礎(chǔ)題．