Question

已知拋物線y²=2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，-2

2

），橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的右焦點(diǎn)恰為拋物線的焦點(diǎn)，且橢圓的離心率為

1

2

．
（1）求拋物線與橢圓的方程；
（2）若P為橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q為過(guò)點(diǎn)P且垂直于x軸的直線上一點(diǎn)，

|OP|

|OQ|

=λ（λ≠0），試求點(diǎn)Q的軌跡．

Answer 1

（1）∵拋物線y²=2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，-2

2

），
∴8=4p，∴p=2
∴拋物線的方程為y²=4x，其焦點(diǎn)為F（1，0），∴c=1
∵橢圓的離心率為

1

2

，
∴a=2
∴b²=a²-c²=3
∴橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）設(shè)Q（x，y），x∈[-2，2]，設(shè)P（x，y₀），則

x2

4

+

y02

3

=1
∴y02=3-

3

4

x2
∵

|OP|

|OQ|

=λ（λ≠0），
∴

x2+3- 3 4 x2

x2+y2

=λ2
∴(λ2-

1

4

)x2+λ2y2=3，x∈[-2，2]，
①λ²=

1

4

，即λ=

1

2

時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡方程為y=±2

3

，x∈[-2，2]，軌跡是兩條平行于x軸的線段；
②λ²＜

1

4

，即0＜λ＜

1

2

時(shí)，軌跡表示實(shí)軸在y軸上的雙曲線滿足x∈[-2，2]的部分；
③λ²＞

1

4

，即λ＞

1

2

時(shí)，軌跡表示長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓滿足x∈[-2，2]的部分．