Question

已知圓C：x²+y²+2x-4y+3=0；
（1）若圓C的切線(xiàn)在x軸，y軸上的截距相等，求此切線(xiàn)方程；
（2）求圓C關(guān)于直線(xiàn)x-y-3=0的對(duì)稱(chēng)的圓方程
（3）從圓C外一點(diǎn)P（x₁，y₁）向圓引一條切線(xiàn)，切點(diǎn)為M，O為原點(diǎn)，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出圓心和半徑，設(shè)直線(xiàn)方程為x+y-a=0或y=kx，由圓心C到切線(xiàn)的距離等于半徑，求出待定系數(shù)a和k的值，即可得到所求切線(xiàn)方程；
（2）求出圓心關(guān)于直線(xiàn)x-y-3=0 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)，而對(duì)稱(chēng)圓的半徑和已知圓的半徑相等，由圓方程的一般式即可求出對(duì)稱(chēng)圓的方程；
（3）由切線(xiàn)的性質(zhì)得到△PCM為直角三角形，利用勾股定理得|PC|²=|PM|²+r²，由|PM|²=|PO|²利用兩點(diǎn)間的距離公式化簡(jiǎn)可得點(diǎn)P的軌跡為2x₁-4y₁+3=0，再求得原點(diǎn)在直線(xiàn)2x-4y+3=0上的射影點(diǎn)，即得使|PM|最小的P點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：（1）圓C：x²+y²+2x-4y+3=0即（x+1）²+（y-2）²=2，
表示圓心為C（-1，2），半徑等于的圓．
設(shè)斜率為-1的切線(xiàn)方程為x+y-a=0，過(guò)原點(diǎn)的切線(xiàn)方程為kx-y=0，
則圓心C到切線(xiàn)的距離等于半徑，
可得：=，求得a=-1或3．
再由=，求得k=2±，
故所求的切線(xiàn)的方程為x+y-3=0或x+y+1=0或y=（2±）x；
（2）由（1）圓C（x+1）²+（y-2）²=2的圓心在（-1，2），半徑等于．
∵點(diǎn)P（m，n）關(guān)于直線(xiàn)x-y-3=0的對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為P'（n+3，m-3）
∴點(diǎn)（-1，2）關(guān)于直線(xiàn)x-y-3=0對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的
坐標(biāo)為（2+3，-1-3）即（5，-4），
故圓C關(guān)于直線(xiàn)x-y-3=0的對(duì)稱(chēng)的圓方程是 （x-5）²+（y+4）²=2；
（3）設(shè)P的坐標(biāo)為（x，y）
由于|PC|²=|PM|²+|CM|²=|PM|²+r²，
∴|PM|²=|PC|²-r²．
又∵|PM|=|PO|，∴|PC|²-r²=|PO|²，
∴（x₁+1）²+（y₁-2）²-2=x₁²+y₁²．
∴2x₁-4y₁+3=0即為動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．
∵原點(diǎn)在直線(xiàn)2x-4y+3=0上的射影點(diǎn)為（-，），
∴使|PM|最小的P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-，）．
點(diǎn)評(píng)：本題給出圓的方程，求圓在軸上截距相等的切線(xiàn)方程和圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的圓的方程．著重考查了直線(xiàn)的方程、圓的方程和直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．