Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD=1，AB=2a（a＞0），E，F(xiàn)分別CD、PB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：EF⊥平面PAB；，
（Ⅱ）當(dāng)a=

2

2

時(shí)，求AC與平面AEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）證明：建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，利用向量垂直證出

EF

⊥

AB

，

EF

⊥

PB

，轉(zhuǎn)化成線線垂直，可證EF⊥平面PAB
（Ⅱ）先求出

AC

與平面AEF的法向量所成角的余弦值．再求AC與平面AEF所成角的正弦值．

解答：解：（Ⅰ）證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz（如圖），
AD=1，PD=1，AB=2a（a＞0），
則E（a，0，0），C（2a，0，0），A（0，1，0），B（2a，1，0），P（0，0，1），F(a，

1

2

，

1

2

)．得

EF

=(0，

1

2

，

1

2

)，

PB

=(2a，1，-1)，

AB

=(2a，0，0)
由

EF

•

AB

=(0，

1

2

，

1

2

)•(2a，0，0)=0，得

EF

⊥

AB

，即EF⊥AB
同理EF⊥PB，又AB∩PB=B
所以，EF⊥平面PAB
（Ⅱ）解：由a=

2

2

，得E(

2

2

，0，0)，F(

2

2

，

1

2

，

1

2

)，C(

2

，0，0)．
有

AC

=(

2

，-1，0)，

AE

=(

2

2

，-1，0)，

EF

=(0，

1

2

，

1

2

)
設(shè)平面AEF的法向量為n=（x，y，1），由

n• EF =0 n• AE =0

⇒

(x，y，1)•(0 1 2 1 2 )=0 (x，y，1)•( 2 2 ，-1，0)=0

⇒

1 2 y+ 1 2 =0 2 2 x-y=0

，解得

y=-1 x=- 2

．于是n=(-

2

，-1，1)
設(shè)AC與面AEF所成的角為θ，

AC

與n的夾角為＜

AC

，n＞．
則sinθ=|cos＜

AC

，n＞|=

| AC •n|

| AC |•|n|

=

|( 2 ，-1，0)•(- 2 ，-1，1)|

2+1+0 2+1+1

=

3

6

．
所以，AC與平面AEF所成角的大小的正弦值為

3

6

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面位置關(guān)系的判定，線面角的求解．利用向量法減少思維量，解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)而得到空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，利于建立空間之間坐標(biāo)系，利用向量的有關(guān)知識(shí)解決空間角與空間距離以及線面的位置關(guān)系等問題．