Question

1．空氣質(zhì)量指數(shù)（Air Quality Index，簡(jiǎn)稱AQI）是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，空氣質(zhì)量按照AQI大小分為六級(jí)，0～50為優(yōu)；51～100為良；101～150為輕度污染；151～200為中度污染；201～250為重度污染；＞300為嚴(yán)重污染．一環(huán)保人士記錄2017年某地某月10天的AQI的莖葉圖如圖．
（1）利用該樣本估計(jì)該地本月空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良（AQI≤100）的天數(shù)；
（按這個(gè)月總共30天計(jì)算）
（2）將頻率視為概率，從本月中隨機(jī)抽取3天，記空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)為ξ，求ξ的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）從莖葉圖中可發(fā)現(xiàn)該樣本中空氣質(zhì)量?jī)?yōu)的天數(shù)為2，空氣質(zhì)量良的天數(shù)為4，從而求出該樣本中空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的頻率，由此能估計(jì)該月空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)．
（2）估計(jì)某天空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的概率為$\frac{3}{5}$，ξ的所有可能取值為0，1，2，3．且ξ～B（3，$\frac{3}{5}$），由此能求出結(jié)果．

解答 解：（1）從莖葉圖中可發(fā)現(xiàn)該樣本中空氣質(zhì)量?jī)?yōu)的天數(shù)為2，
空氣質(zhì)量良的天數(shù)為4，
故該樣本中空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的頻率為$\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，
從而估計(jì)該月空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)為$30×\frac{3}{5}=18$天．
（2）由（1）估計(jì)某天空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的概率為$\frac{3}{5}$，
ξ的所有可能取值為0，1，2，3．且ξ～B（3，$\frac{3}{5}$），
$P（{ξ=0}）={（{\frac{2}{5}}）^3}=\frac{8}{125}，P（{ξ=1}）=C_3^1\frac{3}{5}{（{\frac{2}{5}}）^2}=\frac{36}{125}，P（{ξ=2}）=C_3^2{（{\frac{3}{5}}）^2}\frac{2}{5}=\frac{54}{125}$，
$P（{ξ=3}）={（{\frac{3}{5}}）^3}=\frac{27}{125}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{8}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{27}{125}$

E（ξ）=$0×\frac{8}{125}+1×\frac{36}{125}+2×\frac{54}{125}+3×\frac{27}{125}$=1.8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用．