Question

已知拋物線y²=2px(p>0)與一個(gè)定點(diǎn)M(p,p),則拋物線上與M點(diǎn)的距離最小的點(diǎn)為（   ）

A.(0,0)                            B.(,p)

C.(,p)                 D.(,p)

Answer 1

分析：本題考查利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值.首先建立關(guān)于距離的目標(biāo)函數(shù)關(guān)系式,然后合理地選取變量,通過求導(dǎo)數(shù)的方法求與最值有關(guān)的問題.本題也可以用解析幾何中數(shù)形結(jié)合法求解.

解：設(shè)拋物線上的任意點(diǎn)(x,y)到點(diǎn)M的距離為d,

則有d²=(p-x)²+(p-y)²=(p-)²+(p-y)².所以(d²)′=2(p-)(-)+2(p-y)(-1)=-2p.

令(d²)′_y=0,即-2p=0,解得y=.這是函數(shù)在定義域內(nèi)的唯一極值點(diǎn),所以必是最值點(diǎn).

代入拋物線方程得x===.

所以點(diǎn)(,p)為所求的點(diǎn).

答案：D