Question

【題目】已知、是雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上異于、的一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線交橢圓于點(diǎn)，設(shè)直線、、、的斜率分別為、、、.

（1）若雙曲線的漸近線方程是，且過(guò)點(diǎn)，求的方程；

（2）在（1）的條件下，如果，求的面積；

（3）試問(wèn)：是否為定值？如果是，請(qǐng)求出此定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）的面積為；（3）定值為.

【解析】

（1）設(shè)雙曲線的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線的方程，求出的值，可求出雙曲線的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為，則，由點(diǎn)在雙曲線上得出，可得出，利用斜率公式以及條件可求出射線的方程，由此可得出點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由此計(jì)算出的面積；

（3）由題意得出，設(shè)點(diǎn)、，則，利用斜率公式得出，，由此可得出的值.

（1）由于雙曲線的漸近線方程為，可設(shè)雙曲線的方程為，

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線的方程得，

因此，雙曲線的方程為；

（2）設(shè)射線所在直線的方程為，設(shè)點(diǎn)，則，

因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，可得.

，.

所以，射線所在直線的方程為.

聯(lián)立直線的方程與橢圓的方程，解得，

所以，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，因此，的面積為；

（3）設(shè)點(diǎn)、，

由于點(diǎn)在雙曲線上，則，得，

，，，

同理可得，因此，.