Question

14．設f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當x≥0時，f（x）=x²，則2f（x）-f（$\sqrt{2}$x）=0；若對任意的x∈[a，a+1]，不等式f（x+a）≥2f（x）恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 求出f（x）的解析式，分x≥0，x＜0計算2f（x）-f（$\sqrt{2}$x），有第一問得出2f（x）=f（$\sqrt{2}x$），利用函數(shù)的單調(diào)性得出不等式恒成立，使用函數(shù)恒成立的解題方法計算a的范圍．

解答 解：∵f（x）是奇函數(shù)，x≥0時，f（x）=x²，
∴當x＜0時，f（x）=-x²．
∴當x≥0時，2f（x）-f（$\sqrt{2}x$）=2x²-2x²=0，
當x＜0時，2f（x）-f（$\sqrt{2}x$）=-2x²-（-2x²）=0．
∴2f（x）-f（$\sqrt{2}$x）=0．
∵2f（x）=f（$\sqrt{2}x$），
∴f（x+a）≥2f（x）恒成立?f（x+a）≥f（$\sqrt{2}$x）恒成立．
∵f（x）是增函數(shù)，
∴x+a≥$\sqrt{2}x$在[a，a+1]上恒成立．
∴a≥（$\sqrt{2}-1$）x，x∈[a，a+1]．
令g（x）=（$\sqrt{2}-1$）x，則g（x）在[a，a+1]上是增函數(shù)．
∴g_max（x）=g（a+1）=$\sqrt{2}a-a+\sqrt{2}-1$．
∴a≥$\sqrt{2}a-a+\sqrt{2}-1$，解得a≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：0，[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)單調(diào)性的應用，屬于中檔題．