Question

若函數f（x）=log

1

2

（x²-ax-a）的值域為R，且f（x）在（-3，1-

3

）上是增函數，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：復合函數的單調性

專題：綜合題,函數的性質及應用

分析：函數f（x）=log

1

2

（x²-ax-a）的值域為R，可得出x²-ax-a≤0有解，即a²+4a≥0，再由f（x）在（-3，1-

3

）上是增函數，結合復合函數的單調性得出1-

3

≤

a

2

，解此二不等式即可得出所求的范圍．

解答： 解：函數f（x）=log

1

2

（x²-ax-a）的值域為R，可得出x²-ax-a≤0有解，即a²+4a≥0，解得a≥0或a≤-4；
又函數f（x）=log

1

2

（x²-ax-a）在（-3，1-

3

）上是增函數，
由于外層函數是減函數，可得x²-ax-a在（-3，1-

3

）上是減函數，
所以1-

3

≤

a

2

，解得a≥2-2

3

，
綜上可得a的取值范圍為a≥0．

點評：本題考查復合函數的單調性，解題的難點是理解函數f（x）=log

1

2

（x²-ax-a）的值域為R，此處是一個易錯點，易因為真數為正，誤以為內層函數大于0恒成立，導致轉化出錯．