Question

若橢圓mx²+ny²=1（m＞0，n＞0）與直線y=1-x交于A、B兩點，過原點與線段AB的中點的連線斜率為

2

2

，則

n

m

的值為

 

．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設出A，B的坐標A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入橢圓方程作差，得到-

n(y1-y2)

m(x1-x2)

=

x1+x2

y1+y2

，把直線AB的斜率代入得到

n

m

=

x1+x2

y1+y2

．即

n

m

為AB中點與原點連線的斜率的倒數，則答案可求．

解答： 解：設橢圓mx²+ny²=1（m＞0，n＞0）與直線y=1-x交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，
∵A，B點在橢圓上，
∴mx12+ny12=1，
mx22+ny22=1．
兩式相減得：m（x₁-x₂）（x₁+x₂）+n（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
∴-

n(y1-y2)

m(x1-x2)

=

x1+x2

y1+y2

，
又A，B也在直線y=1-x上，
∴

y1-y2

x1-x2

=-1，
∴

n

m

=

x1+x2

y1+y2

．
令A，B的中點為（x₀，y₀），
則x0=

x1+x2

2

，y0=

y1+y2

2

，
∴

n

m

=

x0

y0

=

x0-0

y0-0

，為AB中點與原點連線的斜率的倒數，
即

n

m

=

1

2 2

=

2

．
故答案為：

2

．

點評：本題考查了橢圓的簡單幾何性質，考查了直線與圓錐曲線的關系，涉及中點弦問題，常用“點差法”求解，是中檔題．