Question

（1），a∈R，試討論函數f（x）的單調性；
（2）當x₂＞x₁＞0，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出，然后分a≤0和0＜a＜1和a=1以及a＞1時四種情況，分別討論導數的零點，可以得到單調性的四種不同情況；
（2）構造函數，通過討論h′（x）的單調性得出h′（x）在（0，+∞）上的最大值小于零，從而h′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，因此h（x）在（0，+∞）上單調遞減．再根據0＜x₁＜x₂時，結合
h（x）單調減可得．
解答：解：（1）     （x＞0）
∴①當a≤0時，f（x）在區(qū)間（0，1）上是增函數，在區(qū)間（1，+∞）是減函數；
②當0＜a＜1時，f（x）在區(qū)間（0，a）是增函數，在區(qū)間（a，1）是減函數，在區(qū)間（1，+∞）是增函數
③當a=1時，f（x）在區(qū)間（0，+∞）是增函數
④當a＞1時，f（x）在區(qū)間（0，1）是增函數，（1，a）是減函數，（a，+∞）是增函數------------------（6分）
（2）令，由，
又令，∴
∴p（x）在[0，+∞）單調遞減----------------------（8分）
∴當x＞0時，p（x）＜p（0）=0，
∴當x＞0時，h'（x）＜0
∴h（x）在（0，+∞）單調遞減．------------（10分）
∴0＜x₁＜x₂時，有，
∴x₂ln（1+x₁）＞x₁ln（1+x₂），
∴-----（12分）
點評：本小題主要考查函數的導數，單調性，不等式等基礎知識，考查綜合利用數學知識分析問題、解決問題的能力．