Question

（2012•武昌區(qū)模擬）設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=

1

4

，E為邊AB的中點．
（I）求△ABC的周長；
（II）求△ABC的內(nèi)切圓的半徑與△CAE的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用余弦定理得到c²=a²+b²-2abcosC，將a，b及cosC的值代入，開方求出c的值，即可得到三角形的周長；
（Ⅱ）由cosC的值，及C為三角形的內(nèi)角，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinC的值，設(shè)三角形ABC的內(nèi)切圓半徑為r，連接三角形內(nèi)心與三個頂點，將三角形ABC分為三個高都為r的三角形，可得出三角形的面積等于周長乘以r的一半，表示出三角形的面積，再利用三角形的面積公式表示出三角形的面積，將三角形的周長，a，b及sinC的值代入求出r的值；由E為AB的中點，利用等底同高得到三角形CAE的面積為三角形ABC面積的一半，求出即可．

解答：（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）∵a=1，b=2，cosC=

1

4

，
∴由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC得：c²=1+4-1=4，
解得：c=2，
則△ABC的周長為1+2+2=5；…（6分）
（Ⅱ）∵cosC=

1

4

，且C為三角形的內(nèi)角，
∴sinC=

15

4

，
設(shè)△ABC的內(nèi)切圓半徑為r，則有S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

（a+b+c）r，
∴

1

2

×1×2×

15

4

=

1

2

×5×r，
解得：r=

15

10

，
又E為AB的中點，
∴S_△CAE=

1

2

S_△ABC=

15

8

．…（12分）

點評：此題考查了余弦定理，三角形的面積公式，三角形內(nèi)切圓性質(zhì)，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．