Question

若：p＞0,q＞0,p³+q³≤2.證明p+q≤2.

Answer 1

思路分析：由于本題不易從正面直接入手，可以利用互為逆否命題的等價性，間接證明；應(yīng)首先寫出它的逆否命題，然后證明逆否命題正確，從而原命題成立.

證明：假設(shè)p+q＞2，因?yàn)閜＞0,q＞0,所以（p+q）³ =p³+3p²q+3pq² +q³＞8.

因?yàn)閜³+q³=2，代入上式得3pq（p+q）＞6，即pq（p+q）＞2.①

由p³+q³=2得（p+q）(p²-pq+q²)=2.②

由①②得pq（p+q）＞(p+q）(p²-pq+q²).

因?yàn)閜+q＞0，所以pq＞p²-pq+q²，所以p²-2pq+q²＜0，即（p+q）²＜0，這不可能.

即假設(shè)p+q＞2不成立，故p+q≤2成立.