Question

已知雙曲線C的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），它的左、右焦點(diǎn)分別F₁，F(xiàn)₂，左右頂點(diǎn)為A₁，A₂，過焦點(diǎn)F₂先作其漸近線的垂線，垂足為P，再作與x軸垂直的直線與曲線C交于點(diǎn)Q，R，若|PF₂|，|A₁A₂|，|QF₁|依次成等差數(shù)列，則離心率e=（　　）

• A、

  2

• B、

  5

• C、

  2

  或

  5

• D、

  5 +1

  2

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由題設(shè)條件推導(dǎo)出|F₂P|=b，|QF₁|=2a+

b2

a

，|A₁A₂|=2a，由|PF₂|，|A₁A₂|，|QF₁|依次成等差數(shù)列，知b，2a，2a+

b2

a

依次成等差數(shù)列，由此能求出離心率e．

解答： 解：由題設(shè)知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的一條漸近線方程為
l：y=

b

a

x，
∵右焦點(diǎn)F（c，0），∴F₂P⊥l，
∴|F₂P|=

|bc-0|

a2+b2

=

|bc-0|

c

=b，
∵F₂Q⊥x軸，

c2

a2

-

|F2Q|2

b2

=1，解得|F₂Q|=

b2

a

，
∴|QF₁|=2a+

b2

a

，
∵|A₁A₂|=2a，若|PF₂|，|A₁A₂|，|QF₁|依次成等差數(shù)列，
∴b，2a，2a+

b2

a

依次成等差數(shù)列，
∴4a=b+2a+

b2

a

，
∴2=

c2-a2

a

+

c2-a2

a2

，即

e2-1

+e²=3，
解得e=

2

．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的離心率的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線的距離公式的靈活運(yùn)用．