Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是BB₁中點，N是AB中點．
求證：直線C₁M、DN、BC三線共點．

Answer 1

分析：先證四邊形NMC₁D為梯形，再證P∈平面ABCD，P∈平面BCC₁D₁，平面ABCD∩平面BCC₁D₁=BC，根據公理2可證P∈BC．

解答：證明：連接MN、C₁D、AB₁，∵AD∥B₁C₁，AD=B₁C₁，
∴四邊形AB₁C₁D為平行四邊形，
∴AB₁∥C₁D，
∵M是BB₁中點，N是AB中點．
∴MN∥AB₁，且MN=

1

2

CD₁，
∴四邊形NMC₁D為梯形，
令DN∩C₁M=P，
∵P∈DN．DN?平面ABCD，P∈平面ABCD，
同理P∈平面BCC₁D₁，
平面ABCD∩平面BCC₁D₁=BC，
∴P∈BC，
∴直線C₁M、DN、BC三線共點．

點評：本題考查了線共點問題，利用公理2，可證明點在線上，即兩平面的公共點一定在兩平面的交線上．