Question

在平面直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程為

x=-1+ 3t 5 y=-1+ 4 5 t

（t為參數(shù)）．若以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=

2

sin(θ+

π

4

)．則直線l被曲線C所截得的弦長(zhǎng)為

41

5

．

Answer 1

分析：畫(huà)直線的參數(shù)方程為普通方程，化圓極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程，求出圓心到直線的距離，利用勾股定理求出半弦長(zhǎng)，則弦長(zhǎng)可求．

解答：解：由

x=-1+ 3t 5 y=-1+ 4 5 t

，得4x-3y+1=0．
再由ρ=

2

sin(θ+

π

4

)，得ρ2=ρ

2

(sinθcos

π

4

+cosθsin

π

4

)．
即 ρ²=ρsinθ+ρcosθ．
所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=x+y．
化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，(x-

1

2

)2+(y-

1

2

)2=

1

2

．
圓心為C（

1

2

，

1

2

），半徑r=

2

2

．
圓心C到直線4x-3y+1=0的距離d=

|4× 1 2 -3× 1 2 +1|

42+(-3)2

=

3

10

．
則直線被圓截得的半弦長(zhǎng)為

( 2 2 )2-( 3 10 )2

=

41

10

．
所以直線l被曲線C所截得的弦長(zhǎng)為2×

41

10

=

41

5

．
故答案為

41

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了化參數(shù)方程為直角坐標(biāo)方程，化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程，考查了直線與圓的位置關(guān)系，是中檔題．