Question

（2008•鎮(zhèn)江一模）在平面直角坐標系中，直線y=-2x+5上有一系列點：P₀（1，3），P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…．已知數列{

1

xn-1

}（n∈N^*）是首項為

1

2

，公差為1的等差數列．
（1）求數列{x_n}（n∈N^*）和數列{y_n}（n∈N^*）的通項公式；
（2）是否存在一個半徑最小的圓C，使得對于一切n∈N，點P_n（x_n，y_n）均在此圓內部（包括圓周）？若存在，求出此圓的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用等差數列的通項公式，可求數列{x_n}的通項，利用直線方程，可求數列{y_n}的通項公式；
（2）對任意n有xn=1+

2

2n-1

∈（1，1.5]，從而存在這樣的圓，它的一個直徑的兩端點為（1，3），（1.5，2），由此可得結論．

解答：解：（1）∵數列{

1

xn-1

}（n∈N^*）是首項為

1

2

，公差為1的等差數列，
∴

1

xn-1

=

1

2

+(n-1)=

2n-1

2

∴xn=

2n+1

2n-1

∴yn=-2×

2n+1

2n-1

+5=

6n-7

2n-1

；
（2）∵對任意n有xn=1+

2

2n-1

∈（1，1.5]
∴顯然存在這樣的圓，它的一個直徑的兩端點為（1，3），（1.5，2），
∴圓心坐標為（1.25，2.5），圓的半徑為

1.25

2

=

5

4

故圓方程為（x-1.25）²+（y-2.5）²=

5

16

．

點評：本題考查等差數列的通項公式，考查圓的方程，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．