Question

某銀行準備新設一種定期存款業(yè)務，經(jīng)預測存款量與利率的平方成正比，比例系數(shù)為k（k＞0），貸款的利率為4.8%.又假設銀行吸收的存款能全部放貸出去.

（1）若存款利率為x，x∈（0，0.048），試寫出存款量g（x）及銀行支付給儲戶的利息h（x）；

（2）存款利率定為多少時，銀行可獲得最大利益？

（銀行獲得的利益=貸款所得的利息-支付給儲戶的利息）

Answer 1

解:（1）由題意，存款量g(x)=kx²,x∈(0,0.048),?銀行應支付的利息h(x)=x·g(x)=kx³,x∈(0,0.048).

（2）設銀行可獲收益為y，則y=0.048·kx²-kx³；y′=0.096·kx-3kx².

令y′=0，即0.096·kx-3kx²=0.解得x=0或x=0.032.

又當x∈（0，0.032）時，y′＞0，當x∈（0.032，0.048）時，y′＜0，

∴y在（0，0.032）內(nèi)單調(diào)遞增,在（0.032，0.048）內(nèi)單調(diào)遞減；

故當x=0.032時，y在（0，0.048）內(nèi)取得極大值，也是最大值.

故存款的利率為3.2%，銀行可獲得最大收益.