Question

20．正數x，y滿足x+2y=1，則$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$的最值．

Answer 1

分析 $\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）（x+2y）=1+2+$\frac{2y}{x}$+$\frac{x}{y}$，根據基本不等式即可求出．

解答 解：$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）（x+2y）=1+2+$\frac{2y}{x}$+$\frac{x}{y}$≥3+2$\sqrt{\frac{2y}{x}•\frac{x}{y}}$=3+2$\sqrt{2}$，當且僅當$\frac{2y}{x}$=$\frac{x}{y}$，即x=$\sqrt{2}$-1，y=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$時取等號，
則$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$有最小值，為3+2$\sqrt{2}$，無最大值．

點評 本題考查了基本不等式的應用，關鍵是轉化，屬于基礎題．