Question

8．在二項式（$\frac{1}{2}$+2x）ⁿ的展開式中：
（1）若第5項，第6項與第7項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項式系數(shù)最大的項；
（2）若所有項的二項式系數(shù)和等于4096，求展開式中系數(shù)最大的項．

Answer 1

分析 （1）由第5項，第6項與第7項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列求得n的值，可得展開式中二項式系數(shù)最大的項．
（2）求得n=12，再利用二項展開式的通項公式，求得展開式中系數(shù)最大的項．

解答 解：（1）因為2${C}_{n}^{5}$=${C}_{n}^{4}$+${C}_{n}^{6}$，所以 n=7，或 n=14．
當n=7時，二項式系數(shù)最大的項為 T₄=$\frac{35}{2}$x³，T₅=70x⁴．
當n=14時，二項式系數(shù)最大的項為T₈=${C}_{17}^{4}$•x⁷．
（2）因為2ⁿ=4096，所以n=12．
又因為 $\left\{\begin{array}{l}{{C}_{12}^{k}{•（\frac{1}{2}）}^{12-k}{•2}^{k}{≥C}_{12}^{k-1}{•（\frac{1}{2}）}^{13-k}{•2}^{k-1}}\\{{C}_{12}^{k}{•（\frac{1}{2}）}^{12-k}{•2}^{k}{≥C}_{12}^{k+1}{•（\frac{1}{2}）}^{11-k}{•2}^{k+1}}\end{array}\right.$，所以k=10，所以展開式中系數(shù)最大的項為T₁₁=33•2⁹•x¹⁰．

點評 本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．