Question

14．若矩陣M=$[\begin{array}{l}{a}&{2}\\{c}&{1}\end{array}]$屬于特征值3的一個特征向量為$\overrightarrow{α}$=$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$，求矩陣M的逆矩陣M^-1．

Answer 1

分析 利用$[\begin{array}{l}a，2\\ c，1\end{array}][\begin{array}{l}1\\ 1\end{array}]=3[\begin{array}{l}1\\ 1\end{array}]$，可得${M}=[\begin{array}{l}1，2\\ 2，1\end{array}]$．通過MM^-1=$[\begin{array}{l}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{array}]$，計算即可．

解答 解：由題意，得$[\begin{array}{l}a，2\\ c，1\end{array}][\begin{array}{l}1\\ 1\end{array}]=3[\begin{array}{l}1\\ 1\end{array}]$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=2}\end{array}\right.$，所以${M}=[\begin{array}{l}1，2\\ 2，1\end{array}]$．
設(shè)${{M}^{-1}}=[\begin{array}{l}x，y\\ z，w\end{array}]$，則${M}{{M}^{-1}}=[\begin{array}{l}1，2\\ 2，1\end{array}][\begin{array}{l}x，y\\ z，w\end{array}]=[\begin{array}{l}1，0\\ 0，1\end{array}]$，
解得$x=-\frac{1}{3}，y=\frac{2}{3}，z=\frac{2}{3}，w=-\frac{1}{3}$，
∴${{M}^{-1}}=[\begin{array}{l}-\frac{1}{3}，\frac{2}{3}\\ \frac{2}{3}，-\frac{1}{3}\end{array}]$．

點(diǎn)評 本題考查求矩陣及其逆矩陣，考查計算能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．