Question

8．如圖，設(shè)點(diǎn)D到定直線(xiàn)AB的距離DE=a（a＞0），過(guò)點(diǎn)D與直線(xiàn)AB相切的動(dòng)圓圓心為C．
（1）試判定動(dòng)點(diǎn)C的軌跡，
（2）已知過(guò)點(diǎn)D的直線(xiàn)l交動(dòng)點(diǎn)C的軌跡于兩點(diǎn)P，Q，且$\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{DQ}$的最大值等于-4，求a的值．

Answer 1

分析 （1）點(diǎn)D到定直線(xiàn)AB的距離DE=a（a＞0），過(guò)點(diǎn)D與直線(xiàn)AB相切的動(dòng)圓圓心為C，可得C到D的距離等于C到直線(xiàn)AB的距離，利用拋物線(xiàn)的定義，即可判定動(dòng)點(diǎn)C的軌跡，
（2）建立坐標(biāo)系，則拋物線(xiàn)方程為x²=2ay（a＞0），設(shè)l：y=kx+$\frac{a}{2}$，代入x²=2ay可得x²-2akx-a²=0，利用韋達(dá)定理，結(jié)合$\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{DQ}$的最大值等于-4，即可求a的值．

解答 解：（1）∵點(diǎn)D到定直線(xiàn)AB的距離DE=a（a＞0），過(guò)點(diǎn)D與直線(xiàn)AB相切的動(dòng)圓圓心為C，
∴C到D的距離等于C到直線(xiàn)AB的距離，
∴動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以D為焦點(diǎn)，AB為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)；
（2）建立如圖所示的坐標(biāo)系，則拋物線(xiàn)方程為x²=2ay（a＞0）
設(shè)l：y=kx+$\frac{a}{2}$，代入x²=2ay可得x²-2akx-a²=0
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=2ak，x₁x₂=-a²
$\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{DQ}$=（x₁，y₁-$\frac{a}{2}$）•（x₂，y₂-$\frac{a}{2}$）=x₁x₂+（y₁-$\frac{a}{2}$）•（y₂-$\frac{a}{2}$）=-a²（k²+1），
∴k=0時(shí)，$\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{DQ}$取得最大值-a²，
∵$\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{DQ}$的最大值等于-4，a＞0
∴a=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程，考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，考查向量的數(shù)量積公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．