Question

（2012•通州區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=lnx-a²x²+ax（a∈R）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）最大值；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把a(bǔ)=1代入函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求出函數(shù)f（x）最大值；
（2）對(duì)參數(shù)a進(jìn)行討論，然后利用導(dǎo)數(shù)f′（x）≤0（注意函數(shù)的定義域）來解答，方法一是先解得單調(diào)減區(qū)間A，再與已知條件中的減區(qū)間（1，+∞）比較，即只需要（1，+∞）⊆A即可解答參數(shù)的取值范圍；方法二是要使函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)，我們可以轉(zhuǎn)化為f′（x）≤0在區(qū)間（1，+∞）上恒成立的問題來求解，然后利用二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間于對(duì)稱軸的關(guān)系來解答也可達(dá)到目標(biāo)．

解答：解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=lnx-x²+x，其定義域是（0，+∞），---------（1分）
∴f′(x)=

1

x

-2x+1=-

2x2-x-1

x

-------------------（2分）
令f'（x）=0，即-

2x2-x-1

x

=0，解得x=-

1

2

或x=1．
∵x＞0，∴x=-

1

2

舍去．
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'（x）＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＜0．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值，其值為f（1）=ln1-1²+1=0．---（6分）
（2）法一：因?yàn)閒（x）=lnx-a²x²+ax其定義域?yàn)椋?，+∞），
所以f′(x)=

1

x

-2a2x+a=

-2a2x2+ax+1

x

=

-(2ax+1)(ax-1)

x

①當(dāng)a=0時(shí)，f′(x)=

1

x

＞0，
∴f（x）在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)，不合題意----------（8分）
②當(dāng)a＞0時(shí)，f'（x）＜0（x＞0）等價(jià)于（2ax+1）（ax-1）＞0（x＞0），即x＞

1

a

．
此時(shí)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為(

1

a

，+∞)．
依題意，得

1 a ≤1 a＞0.

解之得a≥1．-------------------（12分）
③當(dāng)a＜0時(shí)，f'（x）＜0（x＞0）等價(jià)于（2ax+1）（ax-1）＞（x＞0），即x＞

1

2a

•
此時(shí)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為(-

1

2a

，+∞)，
∴

- 1 2a ≤1 a＜0.

得a≤-

1

2

（14分）
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞，-

1

2

]∪[1，+∞)-----------（16分）
法二：∵f（x）=lnx-a²x²+ax，x∈（0，+∞）
∴f′(x)=

-2a2x2+ax+1

x

由f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)，可得-2a²x²+ax+1≤0在區(qū)間（1，+∞）上恒成立．--------------8分
①當(dāng)a=0時(shí)，1≤0不合題意----------------------------------10
②當(dāng)a≠0時(shí)，可得

1 4a ＜1 f(1)≤0

即

a＞ 1 4 或a＜0 -2a2+a+1≤0

∴

a＞ 1 4 或a＜0 a≥1或a≤- 1 2

-----------14分
∴a∈(-∞，-

1

2

]∪[1，+∞)----------------------------------16分

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，綜合考查利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來解決有關(guān)函數(shù)的單調(diào)性、最值等問題的能力，考查已知函數(shù)的單調(diào)性的條件下怎樣求解參數(shù)的范圍問題，考查分類討論，函數(shù)與方程，配方法等數(shù)學(xué)思想與方法．