Question

【題目】如圖，直棱柱中，底面是菱形，，點F，Q是棱，的中點，，是棱，上的點，且．

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）證明四邊形MNQE為平行四邊形推出，證明四邊形為平行四邊形推出，即可得證；（2）建立平面直角坐標系，求出平面的一個法向量及向量的坐標，代入即可得解.

（1）證明：取中點，上一點，，連接，，，易證四邊形為平行四邊形，,

,四邊形MNQE為平行四邊形，則，

，四邊形為平行四邊形，∴．

∵平面，平面，

∴平面；

（2）連接，，設與交于點，∵底面是菱形，∴．

以為原點，，，及過點且與平行的直線為，，軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，

設平面的法向量，

則，令，得平面的一個法向量為

設直線與平面所成角為，，

即直線與平面所成角的正弦值為．