Question

已知數(shù)列{a_n}滿足an=

n，n=2k-1，k∈N* ak，n=2k，k∈N*

，記Sn=a1+a2+a3+…+a2n-1+a2n．
（1）求a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆．；
（2）證明S_n=4^n-1+S_n-1（n≥2）；
（3）求S_n，并證明

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜1-

1

4n

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)數(shù)列各項的定義求出各項的值是解決本題的關(guān)鍵，注意分段函數(shù)給出數(shù)列通項公式的理解和認(rèn)識；
（2）利用數(shù)列各項的值給出數(shù)列求和的方法，注意分組求和方法的運用，探究出數(shù)列的前n項和滿足的關(guān)系式達到證明該題的目的；
（3）根據(jù)（2）中得到的數(shù)列的前n項和滿足的遞推關(guān)系式探求出前n項和的公式是解決本題的關(guān)鍵，利用放縮法達到證明該題的目的．

解答：解：（1）a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆=a₁+a₁+a₃+a₂+a₅+a₃=a₁+a₁+2a₃+a₁+a₅=3a₁+2a₃+a₅=3×1+2×3+5=14．
（2）Sn=a1+a2+a3+…+a2n-1+a2n
=(a1+a3+a5+…+a2n-1)+(a2+a4+a6+…+a2n)
=【1+3+5+…+(2n-1)】+(a2+a4+a6+…+a2n)
=

2n-1

2

【1+(2n-1)】+(a2+a4+a6+…+a2n)
=4n-1+(a1+a2+a3+…+a2n-1)=4n-1+Sn-1．
（3）由（2）可知S_n=4^n-1+S_n-1（n≥2）；即S_n^-S_n-1=4^n-1（n≥2）；從而
S_n=（S_n^-S_n-1）+（S_{n-1 ^-}S_n-2）+（S_n-2^-S_n-3）+…+（S_2^-S₁）+S_1⁼4^n-1+4^n-2₊4^n-3+…+4+2=

4(1-4n-1)

1-4

+2=

1

3

(4n+2)，
所以

1

Sn

=

3

4n+2

＜

3

4n

，故

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜3×(

1

4

+

1

42

+

1

43

+…+

1

4n

)=1-

1

4n

．

點評：本題考查數(shù)列通項公式的認(rèn)識和理解，考查數(shù)列求通項和求和的方法，考查數(shù)列的遞推關(guān)系求通項的方法，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸的思想，分組求和的思想，放縮轉(zhuǎn)化通項的方法實現(xiàn)不等式證明的解決．