Question

已知a≥0，函數(shù)f(x)=x²+ax，設(shè)，記曲線y=f(x)在點(diǎn)M(x₁，f(x₁))處的切線為l，l與x軸的交點(diǎn)是N(x₂，0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，
(Ⅰ)證明：；
(Ⅱ)若對(duì)于任意的，都有成立，求a的取值范圍。

Answer 1

解：(Ⅰ)對(duì)f(x)求導(dǎo)數(shù)，得，f′(x)=2x+a，
故切線l的斜率為2x₁+a，
由此得切線l的方程為y-(x₁²+ax₁)=(2x₁+a)(x-x₁)，
令y=0，得。
(Ⅱ)由，得，
設(shè)，
對(duì)求導(dǎo)數(shù)，得，
令，得，
當(dāng)時(shí)，的變化情況如下表：
，
所以，函數(shù)g(x₁)在上單調(diào)遞減，在上單凋遞增，
從而函數(shù)g(x₁)的最小值為，
依題意，得，解得：，
即a的取值范圍是。