Question

12．為了解一種植物的生長(zhǎng)情況，抽取一批該植物樣本測(cè)量高度（單位：cm），其頻率分布直方圖如圖所示
（1）求該植物樣本高度的平均數(shù)$\overrightarrow{x}$和樣本方差s²（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）
（2）假設(shè)該植物的高度Z服從正態(tài)分布N（μ，a²），其中μ近似為平均數(shù)$\overrightarrow{x}$，a²近似為樣本方差s²，利用該正態(tài)分布求P（64.5＜Z＜96）
附：$\sqrt{110}$≈10.5，若Z～N（μ，a²），則P（μ-?＜Z＜μ+?）=0.6826，P（μ-2?＜Z＜μ+2?）=0.9544．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)頻率分布直方圖，求出數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差；
（2）根據(jù)正態(tài)分布的概率特征，計(jì)算出P（64.5＜Z＜96）的值．

解答 解：（1）根據(jù)頻率分布直方圖，得；
該植物樣本高度的平均數(shù)是
$\overline{x}$=55×0.1+65×0.2+75×0.35+85×0.3+95×0.05=75，
方差是
s²=（55-75）²×0.1+（65-75）²×0.2+（75-75）²×0.35+（85-75）²×0.3+（95-75）²×0.05=110；
（2）由（1）知，Z～N（75，110），
從而P（64.5＜Z＜75）=$\frac{1}{2}$×P（75-10.5＜Z＜75+10.5）
=$\frac{1}{2}$×0.6826
=0.3413，
P（75＜Z＜96）=$\frac{1}{2}$×P（75-2×10.5＜Z＜75+2×10.5）
=$\frac{1}{2}$×0.9544
=0.4772；
∴P（64.5＜Z＜96）=P（64.5＜Z＜75）+P（75＜Z＜96）
=0.3413+0.4772
=0.8185．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用頻率分布直方圖求數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了正態(tài)分布的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．