Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ﹣alnx，其中a＞0，x＞0，e是自然對數(shù)的底數(shù)． （Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）= ，證明：0＜g（x）＜1．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） = = =
①當(dāng)0＜a≤1時，ex＞a，當(dāng)x∈（0，1），f'（x）＜0；當(dāng)x∈（1，+∞），f'（x）＞0；
所以f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
②當(dāng)1＜a＜e時，令ex=a，得x=lna∈（0，1），
由f'（x）＜0得lna＜x＜1，由f'（x）＞0得0＜x＜lna或x＞lna，
所以f（x）在（0，lna），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（lna，1）上單調(diào)遞減．
③當(dāng)a=e時，令ex=a，f'（x）≥0，故f（x）在（0，+∞）上遞增．
④當(dāng)a＞e時，令ex=a，得x=lna∈（1，+∞），
由f'（x）＜0得1＜x＜lna，由f'（x）＞0得0＜x＜1或x＞lna，
所以f（x）在（0，1），（lna，+∞）上單調(diào)遞增，在（1，lna）上單調(diào)遞減．
綜上，當(dāng)0＜a≤1時，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
當(dāng)1＜a＜e時，f（x）在（0，lna），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（lna，1）上單調(diào)遞減．
當(dāng)a=e時，f（x）在（0，+∞）上遞增．
當(dāng)a＞e時，f（x）在（0，1），（lna，+∞）上單調(diào)遞增，在（1，lna）上單調(diào)遞減．
（Ⅱ）證明：0＜g（x）＜1 1+xlnx＞0①且 ②
先證①：令h（x）=1+xlnx，則h（x）=1+lnx，
當(dāng) ，h'（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減；當(dāng) ，h'（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增；
所以 = = ，故①成立！
再證②：由（Ⅰ），當(dāng)a=1時， 在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
所以f（x）≥f（1）=e﹣1＞0，故②成立！
綜上，0＜g（x）＜1恒成立
【解析】（Ⅰ）求出 ，根據(jù)0＜a≤1，1＜a＜e，a=e，a＞e進行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能討論f（x）的單調(diào)性．（Ⅱ）0＜g（x）＜1等價于1+xlnx＞0，且 ，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明0＜g（x）＜1．
【考點精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．