Question

設函數f（x）=x²+bx+c，且f（1）=-．
（1）求證：函數f（x）有兩個零點．
（2）設x₁、x₂是函數f（x）的兩個零點，求|x₁-x₂|的取值范圍．
（3）求證：函數f（x）在區(qū)間（0，2）內至少有一個零點．

Answer 1

解：（1）證明：∵f（1）=1+b+c=-，∴b+c=-．
∴c=--b．
∴f（x）=x²+bx+c=x²+bx--b，
判別式△=b²-4（--b）=b²+4b+6
=（b+2）²+2＞0恒成立，故函數f（x）有兩個零點
（2）若x₁，x₂是函數f（x）的兩個零點，則x₁，x₂是方程f（x）=0的兩根
∴x₁+x₂=-b，x₁•x₂=--b
∴|x₁-x₂|==≥
∴|x₁-x₂|的取值范圍為[，+∞）
（3）f（0）=c，f（2）=4+2b+c，由（I）知b+c=-，∴f（2）=1-c．
（i）當c＞0時，有f（0）＞0，而f（1）=-＜0，故函數f（x）在區(qū)間（0，1）內有一個零點，
故在區(qū)間（0，2）內至少有一個零點．
（ii）當c≤0時，f（1）＜0，f（0）=c≤0，f（2）=1-c＞0，∴函數f（x）在區(qū)間（1，2）內有一零點，
綜合（i）（ii），可知函數f（x）在區(qū)間（0，2）內至少有一個零點
分析：（1）由條件化簡函數的解析式，求出函數的判別式，由判別式大于0恒成立得到函數f（x）有兩個零點．
（2）設x₁，x₂是函數f（x）的兩個零點，則x₁，x₂是方程f（x）=0的兩根，可求x₁+x₂及x₁•x₂的值，將|x₁-x₂|變形，用x₁+x₂及x₁•x₂的值表示，配方求出最小值，由題意知，式子無最大值．
（3）先求出2個端點的函數值f（0）、f（2），當c＞0時，有f（0）＞0，f（1）＜0，在區(qū)間（0，2）內至少有一個零點；當c≤0時，f（1）＜0，f（2）=1-c＞0，得函數f（x）在區(qū)間（1，2）內有一零點．
點評：本題考查函數的零點與方程根的關系，函數的零點就是函數f（x）=0的根；零點的判定方法是，函數在區(qū)間端點的函數值異號．