Question

如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)E是棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱CD的中點(diǎn)．

(1)求證D₁E⊥平面AB₁F；

(2)求二面角G₁-EF-A的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)．

Answer 1

解：(1)連結(jié)A_lB，則D₁E在側(cè)面ABB₁A₁上的射影是A₁B，又∵A₁B⊥AB₁，∴D₁E⊥AB₁，

連結(jié)DE，∵D₁E在底面ABCD上的射影是DE，E、F均為中點(diǎn)，

∴DE⊥AF，∴D₁E⊥AF

∴D₁E⊥平面AB₁F

(2)∵C₁C⊥平面EFA，連結(jié)AC交EF于H，則AH⊥EF，

連結(jié)C₁H，則C₁H在底面ABCD上的射影是CH，

∴C₁H⊥EF，

∴∠C₁HA為二面角C₁-EF-A的平面角，它是∠C₁HC的鄰補(bǔ)角．

在Rt△C₁CH中，∵C₁C=1，CH=AC=，

∴tan∠C₁HC=．

∴∠C₁HC=arctan2，

∴∠C₁HA=π-arctan2

另解：(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

則A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，A₁(0，0，1)，B₁(1，0，1)，E(1，，0)，F(xiàn)(，1，0)，D_l(0，1，1)．

∴=(1，，-1)，=(1，0，1)

∴·=1-1=0，∴D₁E⊥AB₁

又=(，1，0)，

∴·=-=0，∴D₁E⊥AF．

∴D₁E⊥平面AB₁F

(2)∵C₁C⊥平面EFA，連結(jié)AC交EF于H，則AH⊥EF，C₁H在底面ABCD上的射影是CH，∴C₁H⊥EF

∴∠C₁HA為二面角C₁-EF-A的平面角．

∵C₁(1，1，1)，H(，0)

∴=(,,1)，=(，,0)

cos＜,＞=

∴∠C₁HA =π-arccos