Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+a²-1．
（1）若f（1）=3，求實數(shù)a的值；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上是單調(diào)的，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)x∈[-1，1]時，求函數(shù)f（x）的最小值g（a）．

Answer 1

分析：（1）由已知中函數(shù)的解析式，將x=1，y=3代入構(gòu)造a的方程，解方程可得答案．
（2）分析出函數(shù)的圖象形狀及對稱軸位置，根據(jù)函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上是單調(diào)的，得到區(qū)間在對稱軸同側(cè)，得到答案；
（3）分別討論區(qū)間在對稱軸左側(cè)，右側(cè)，兩側(cè)的情況，求出對應(yīng)的最小值，最后綜合討論結(jié)果可得答案．

解答：解：（1）∵f（x）=x²-2ax+a²-1．
又∵f（1）=3，
即1-2a+a²-1=3
即a²-2a-3=0
解得a=-1，或a=3
（2）∵函數(shù)f（x）=x²-2ax+a²-1的圖象是開口向上，且以x=a為對稱軸的拋物線
又∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上是單調(diào)的，
則區(qū)間[0，2]在對稱軸的同一側(cè)
故a≤0或a≥2
（3）當(dāng)a≤-1時，函數(shù)在[-1，1]為增函數(shù)，此時函數(shù)f（x）的最小值g（a）=f（-1）=a²+2a
當(dāng)-1＜a＜1時，函數(shù)在[-1，a]上遞減，在[a，1]為增函數(shù)，此時函數(shù)f（x）的最小值g（a）=f（a）=-1
當(dāng)a≥1時，函數(shù)在[-1，1]為減函數(shù)，此時函數(shù)f（x）的最小值g（a）=f（1）=a²-2a
故g（a）=

a2+2a，a≤-1 1，-1＜a＜1 a2-2a，a≥1

點評：本題考查的知識點是二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答本題的關(guān)鍵．