Question

16．已知$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3}{2}$x，sin$\frac{3}{2}$x），$\overrightarrow$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$），$\overrightarrow{c}$=（-sin$\frac{x}{2}$，cos$\frac{x}{2}$），x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]
（1）求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$及$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$；
（2）求函數(shù)f（x）=2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$+|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積運(yùn)算公式和三角函數(shù)恒等變換化簡；
（2）利用三角函數(shù)的單調(diào)性列出不等式解出．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=cos$\frac{3x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{3x}{2}$sin$\frac{x}{2}$=cos2x．
（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）²=${\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}$=2+2cos2x=2+2（1-2sin²x）=4-4sin²x=4cos²x．
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=2cosx．
$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=-cos$\frac{3x}{2}$sin$\frac{x}{2}$+sin$\frac{3x}{2}$cos$\frac{x}{2}$=sinx．
（2）f（x）=2sinx+2cosx=2$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）．
令-$\frac{π}{2}+2kπ$≤x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}+2kπ$，解得-$\frac{3π}{4}$+2kπ≤x≤$\frac{π}{4}+2kπ$．
∵x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，
∴f（x）的單調(diào)增期間為[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{4}$]．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，三角函數(shù)的化簡求值，屬于基礎(chǔ)題．