Question

（本題滿分14分）

       已知函數(shù)，點．

   （Ⅰ）若，函數(shù)在上既能取到極大值，又能取到極小值，求的取值范圍；

   （Ⅱ） 當時，對任意的恒成立，求的取值范圍；

（Ⅲ）若，函數(shù)在和處取得極值，且，是坐標原點，證明：直線與直線不可能垂直.

Answer 1

解：（Ⅰ）當時，，

令得，根據(jù)導數(shù)的符號可以得出函數(shù)在處取得極大值，

在處取得極小值．函數(shù)在上既能取到極大值，又能取到極小值，

則只要且即可，即只要即可．

所以的取值范圍是．                                    ………… 4分

（Ⅱ）當時，對任意的恒成立，

即對任意的恒成立，

也即在對任意的恒成立．                  

令，則．        ………… 6分

記，則，

則這個函數(shù)在其定義域內(nèi)有唯一的極小值點，

故也是最小值點，所以，

從而，所以函數(shù)在單調(diào)遞增．

函數(shù)．故只要即可．

所以的取值范圍是                             ………… 9分

（Ⅲ）假設(shè)，即，

即，

故，

即．

由于是方程的兩個根，

故．代入上式得．   ………… 12分

，

即，與矛盾，

       所以直線與直線不可能垂直．                           ………… 14分