Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³+ax²-bx+1（x∈R，a，b為實數(shù)）有極值，且在x=1處的切線與直線x-y+1=0平行．
（Ⅰ）求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)a，使得函數(shù)f（x）的極小值為1，若存在，求出實數(shù)a的值；若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)g（x）=

f′(x)-2ax+b-1

x

-2lnx，試判斷函數(shù)g（x）在（1，+∞）上的符號，并證明：lnn+

1

2

（1+

1

n

）≤

n

i-1

1

i

（n∈N^*）．

Answer 1

（Ⅰ）∵f′（x）=x²+2ax-b，∴f′（1）=1+2a-b，
又因為函數(shù)在x=1處的切線與直線x-y+1=0平行，所以在x=1處的切線的斜率等于1，∴f′（1）=1∴b=2a①
∵f（x）有極值，故方程f′（x）=x²+2ax-b=0有兩個不等實根∴△=4a²+4b＞0∴a²+b＞0②
由①．②可得，a²+2a＞0∴a＜-2或a＞0
故實數(shù)a的取值范圍是a∈（-∞，-2）∪（0，+∞）
（（Ⅱ）存在a=-

8

3

…（5分）
由（1）可知f′（x）=x²+2ax-b，令f′（x）=0∴x₁=-a-

a2+2a

，x₂=-a+

a2+2a

∴f（x）_極小=f（x₂）=

1

3

x23+ax₂²-2ax₂+1=1，
∴x₂=0或x₂²+3ax₂-6a=0
若x₂=0，則-a+

a2+2a

=0，則a=0（舍），
若x₂²+3ax₂-6a=0，又f′（x₂）=0，∴x₂²+2ax₂-2a=0，
∴ax₂-4a=0
∵a≠0∴x₂=4
∴-a+

a2+2a

=4，
∴a=-

8

3

＜2∴存在實數(shù)a=-

8

3

，使得函數(shù)f（x）的極小值為1．
（Ⅲ）由g（x）=

f′(x)-2ax+b-1

x

-2lnx=

x2+2ax-b-2ax+b-1

x

-2lnx=x-

1

x

-2lnx
故g′（x）=1+

1

x2

-

2

x

=

x2-2x+1

x2

=

(x-1)2

x2

＞0，
則g（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，故g（x）＞g（1）=0，
所以，g（x）在（1，+∞）上恒為正．
當(dāng)n是正整數(shù)時，

n+1

n

＞1，設(shè)x=

n+1

n

，則
g（

n+1

n

）=

n+1

n

-

n

n+1

-2ln

n+1

n

=1+

1

n

-1+

1

n+1

-2[ln（n+1）-lnn]
=

1

n

+

1

n+1

-2[ln（n+1）-lnn]＞0，
即

1

n

+

1

n+1

＞2[ln（n+1）-lnn]
上式分別取n的值為1、2、3、…、n-1（n＞1）累加得：
（

1

1

+

1

2

）+（

1

2

+

1

3

）+（

1

3

+

1

4

）+…+

1

n-1

+

1

n

＞2[ln2-ln1+ln3-ln2+ln4-ln3+…lnn-ln（n-1）]
∴1+2（

1

2

+

1

3

+

1

4

+…

1

n-1

）+

1

n

＞2lnn
2（1+

1

2

+

1

3

+

1

4

+…

1

n-1

+

1

n

）＞2lnn+1+

1

n

∴1+

1

2

+

1

3

+

1

4

+…

1

n-1

+

1

n

）＞lnn+

1

2

（1+

1

n

）
即lnn+

1

2

（1+

1

n

）＜

n

i-1

1

i

，（n＞1）
又當(dāng)n=1時，lnn+

1

2

（1+

1

n

）=

n

i-1

1

i

，
故lnⁿ+

1

2

（1+

1

n

）≤

n

i-1

1

i

，當(dāng)且僅當(dāng)n=1時取等號．