Question

19．已知函數(shù)f（x）=2lnx-x²-ax，g（x）=-alnx+x²+3ax+$\frac{1}{x}$，a∈R．
（1）當(dāng)a=0時，求f（x）的極值；
（2）令h（x）=f（x）+g（x），求函數(shù)h（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（3）如果x₁，x₂是函數(shù)f（x）的兩個零點，且x₁＜x₂＜4x₁，f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，證明：f′（$\frac{2{x}_{1}+{x}_{2}}{3}$）＞0．

Answer 1

分析 （1）將a=0代入，求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，從而求出函數(shù)的極值；
（2）先求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，從而求出函數(shù)的遞減區(qū)間；
（3）構(gòu)造函數(shù)h（t）=lnt-$\frac{3t-3}{t+2}$，求導(dǎo)數(shù)可得單調(diào)性和求值范圍，進(jìn)而可得答案．

解答 解：（1）a=0時：f（x）=2lnx-x²，故f′（x）=$\frac{2（1+x）（1-x）}{x}$，（x＞0），
當(dāng)0＜x＜1時：f′（x）＞0，f（x）遞增，
當(dāng)x＞1時：f′（x）＜0，f（x）遞減，
∴x=1時：f（x）取極大值f（1）=-1；
（2）h′（x）=$\frac{（2x-1）（ax+1）}{{x}^{2}}$，令h′（x）=0，解得：x₁=-$\frac{1}{a}$，x₂=$\frac{1}{2}$，
若a≥0，由h′（x）＜0解得：0＜x＜$\frac{1}{2}$，∴h（x）的遞減區(qū)間是（0，$\frac{1}{2}$），
若a＜0，①a＜-2時，-$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{2}$，由h′（x）＜0，解得：0＜x＜-$\frac{1}{a}$或x＞$\frac{1}{2}$，
∴h（x）在（0，-$\frac{1}{a}$），（$\frac{1}{2}$，+∞）遞減；
②a=-2時：總有h′（x）≤0，故h（x）在（0，+∞）遞減，
③-2＜a＜0時：-$\frac{1}{a}$＞$\frac{1}{2}$，由h′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{2}$或x＞-$\frac{1}{a}$，
∴h（x）在（0，$\frac{1}{2}$），（-$\frac{1}{a}$，+∞）遞減，
綜上：a＜-2時，h（x）在（0，-$\frac{1}{a}$），（$\frac{1}{2}$，+∞）遞減，
a=-2時：h（x）在（0，+∞）遞減，
-2＜a＜0時：h（x）在（0，$\frac{1}{2}$），（-$\frac{1}{a}$，+∞）遞減，
a≥0時：h（x）的遞減區(qū)間是（0，$\frac{1}{2}$）；
（3）∵x₁，x₂（x₁＜x₂）是函數(shù)f（x）的兩個零點，
∴f（x₁）=2lnx₁-x₁²-ax₁=0，f（x₂）=2lnx₂-x₂²-ax₂=0，
兩式相減可得：2ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-（x₂²-x₁²）-a（x₂-x₁）=0，
∴a=$\frac{2ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}{{x}_{2}{-x}_{1}}$-（x₂+x₁），
∵f′（x）=$\frac{2}{x}$-2x-a，
∴f′（ $\frac{{2x}_{1}{+x}_{2}}{3}$）=$\frac{6}{{2x}_{1}{+x}_{2}}$-$\frac{2}{3}$（2x₁+x₂）-a，
=-$\frac{2}{{x}_{2}{-x}_{1}}$（ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-$\frac{3\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-3}{2+\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}$）-$\frac{1}{3}$（x₁-x₂），
令t=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$∈（1，4），h（t）=lnt-$\frac{3t-3}{t+2}$，
∴h′（t）=$\frac{1}{t}$-$\frac{9}{{（t+2）}^{2}}$=$\frac{{t}^{2}-5t+4}{{t（t+2）}^{2}}$=$\frac{（t-1）（t-4）}{{t（t+2）}^{2}}$＜0，
∴h（t）在（1，4）上單調(diào)遞減，
∴h（t）＜h（1）=0，
又-$\frac{2}{{x}_{2}{-x}_{1}}$＜0，-$\frac{1}{3}$（x₁-x₂）＞0，
∴f′（$\frac{{2x}_{1}{+x}_{2}}{3}$）＞0．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和單調(diào)性，涉及構(gòu)造函數(shù)的方法，屬中檔題．