Question

17．是否存在銳角α和β，使α+2β=$\frac{2π}{3}$①，且tan$\frac{α}{2}$tanβ=2-$\sqrt{3}$②，同時成立？若存在，求出α和β的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 假設存在兩個銳角α和β，使得兩個條件：α+2β=$\frac{2π}{3}$①和tan$\frac{α}{2}$tanβ=2-$\sqrt{3}$②同時成立，求得$\left\{\begin{array}{l}{tan\frac{α}{2}=1}\\{tanβ=2-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{tan\frac{α}{2}=2-\sqrt{3}}\\{tanβ=1}\end{array}\right.$，解得α=$\frac{π}{6}$、β=$\frac{π}{4}$ 滿足條件，從而得出結論．

解答 解：假設存在兩個銳角α和β，使得兩個條件：α+2β=$\frac{2π}{3}$①和tan$\frac{α}{2}$tanβ=2-$\sqrt{3}$②同時成立；
可得tan（$\frac{α}{2}$+β）=tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，∴tan$\frac{α}{2}$+tanβ=tan（$\frac{α}{2}$+β）•（1-tan$\frac{α}{2}$tanβ）=$\sqrt{3}$[1-（2-$\sqrt{3}$）]=3-$\sqrt{3}$，
即 tan$\frac{α}{2}$+tanβ=3-$\sqrt{3}$ ③．
由②③求得$\left\{\begin{array}{l}{tan\frac{α}{2}=1}\\{tanβ=2-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{tan\frac{α}{2}=2-\sqrt{3}}\\{tanβ=1}\end{array}\right.$．
對于$\left\{\begin{array}{l}{tan\frac{α}{2}=1}\\{tanβ=2-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，由于不存在銳角α，使tan$\frac{α}{2}$=1，故此方程組無解．
對于$\left\{\begin{array}{l}{tan\frac{α}{2}=2-\sqrt{3}}\\{tanβ=1}\end{array}\right.$，可得$\frac{α}{2}$=$\frac{π}{12}$，β=$\frac{π}{4}$，故存在α=$\frac{π}{6}$、β=$\frac{π}{4}$ 滿足條件．

點評 本題給出α、β滿足的條件，探求α、β能否為銳角．著重考查了兩角和與差的正切公式、方程組的解法、特殊角的三角函數(shù)值等知識，屬于中檔題．