Question

如下圖所示，O為坐標原點，過點P（2，0）且斜率為k的直線l交拋物線y²=2x于M（x₁,y₁）、N（x₂,y₂）兩點.

（1）寫出直線l的方程；

（2）求x₁x₂與y₁y₂的值；

（3）求證：OM⊥ON.

Answer 1

解：（1）直線l的方程為y=k(x-2)(k≠0),①

(2)由①及y²=2x消去y得k²x²-2(2k²+1)x+4k²=0.②

點M、N的橫坐標x₁與x₂是②的兩個根，由根與系數(shù)的關(guān)系得x₁x₂==4.由y₁²=2x₁,y₂²=2x₂，得(y₁y₂)²=4x₁x₂=4×4=16，注意到y(tǒng)₁y₂＜0，所以y₁y₂=-4.

(3)證明：設直線OM、ON的斜率分別為k₁、k₂，則k₁=,k₂=,相乘得k₁k₂= =-1,所以OM⊥ON.