Question

已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）+a（x+1）²（a＜0且a為常數(shù)）在x=1處有極大值．
（Ⅰ）試確定實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）判斷方程f（x）=0在區(qū)間（0，3）內(nèi)實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依題意，f′（1）=+4a=0，可求得a=，再利用極大值的條件去驗(yàn)證“在x=1處有極大值”；
（Ⅱ）由（1）可知，函數(shù)f（x）在（0，1）上為增函數(shù)，在（1，3）上為減函數(shù)，求得f（0），f（1），f（3）的值，利用零點(diǎn)存在定理即可判斷方程f（x）=0在區(qū)間（0，3）內(nèi)實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)．
解答：解：（Ⅰ）∵f′（x）=+2a（x+1），又f（x）在x=1處有極大值，
∴f′（1）=+4a=0，
∴a=．此時(shí)，f（x）=ln（1+x）-（x+1）²，
f′（x）=-
=
=-，
-1＜x＜1時(shí)，f'（x）＞0，x＞1時(shí)，f'（x）＜0，
∴f（x）在（-1，1）上為增函數(shù)，在（1，+∞）上為減函數(shù)，
∴f（x）在x=1處有極大值，故a=．…（6分）
（Ⅱ）由（1）可知，函數(shù)f（x）在（0，1）上為增函數(shù)，在（1，3）上為減函數(shù)，
且f（0）=-＜0，f（1）=ln2-＞0，f（3）=ln4-2＜0，，
所以方程f（x）=0在區(qū)間（0，3）內(nèi)實(shí)數(shù)根有兩個(gè)…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，考查分析，轉(zhuǎn)化及運(yùn)算能力，屬于中檔題．